【历史文化名人】搜炼古今秦九韶

作者:查有梁(四川省社会科学院管理学研究所研究员) 来源:四川省地方志工作办公室 发布时间:2021-09-11 20:33:07 浏览次数: 【字体:

本文载《巴蜀史志》2020年第5期“四川历史名人”专刊

搜炼古今秦九韶

查有梁

秦九韶:搜炼古今,博采沈奥

秦九韶于宋宁宗嘉定元年(1208),出生在普州(今四川省资阳市安岳县)天庆观街“秦苑斋”。祖父秦臻舜和父亲秦季槱,都是进士。祖父秦臻舜给孙子起名“秦九韶”,“九韶”意为最美好的音乐诗歌;父亲秦季槱给儿子取字为“道古”,意为从古人那里学习道学儒学。

秦九韶博采诸子百家之长,深度发现数学奥妙。他的传奇生平和经典著作《数书九章》就是“搜炼古今,博采沈奥”的典型案例。秦九韶认真学习钻研过祖冲之的著作,包括祖冲之父子艰深的数学著作《缀术》;深入学习和研究过《周易》《道德经》《九章算术》(中国古代的一本数学经典著作)等哲学和数学经典,这是“搜古”。他在40岁之前,对工作和生活中遇到的许多问题,如天文气象、田地测量、工程设计、赋税分配、房屋营建、军旅后勤、市场贸易等,都作为“数学问题”一一解决,并记录下来,这是“炼今”。

秦九韶是一位“大孝子”。宋理宗嘉熙二年(1238),父亲秦季槱去世,秦九韶回到临安(今浙江省杭州市)丁父忧。秦九韶为父亲守孝3年,其间义务设计“西溪桥”,今名杭州“道古桥”;又回安吉州(今浙江省湖州市)改建祖父购置、父亲曾经居住的老住舍;应用数学方法研究赋税负担;参与“多宝塔”遭雷击后的测量修复工程。宋理宗淳祐四年(1244)冬十一月母亲病故,辞官离任,回到湖州丁母忧。为母亲守孝3年,闭门钻研,潜心写作,淳祐七年(1247)完成数学经典著作《数术大略》,明末改为《数书九章》。

秦九韶的《数书九章》,全书约有27万字,其写作模式开创一种“诗文结合”“四言标题”“九章八十一题”——笔者称为“九章写法”。

这种写法与老子的《道德经》写法相似。《数书九章》既体现了“九韶”的意思,有音乐文学美;也包含了“道古”的含义,哲理丰富,数理深奥。

秦九韶纪念馆中的秦九韶汉白玉雕像

《数书九章》序文今译

周代的教育内容有“六艺”(礼、乐、射、御、书、数),数学是其中之一。学者和官员们历来重视、崇尚数学这门学问。为了应用,人们要认识世界的规律,因而产生了数学。数学具有广泛的应用性。从大的方面说,数学可以认识自然、理解人生;从小的方面说,数学可以经营事务、分类万物。难道容许将数学视为一门浅近的学问吗?

过去,历算家们用筹算推演、制定天文历法,发现自然规律,预测季节变化;用“髀”“矩”测山高河深,用“圭表”量日影,以定时刻与节气。天地如此之大,尚且不能置于数学之外,那么,天地之中各种各样的事物,难道能离开数学吗?

自从“河图”“洛书”,开创发现数学的奥秘;《周易》“八卦”、《九章算术》,在解决错综复杂问题时,显示了数学的精妙细微;“大衍术”在历法计算以及解诸多问题中的应用,使数学的精微作用发挥到极大。数学对于认识人世间各类事物的变化,无所不包。自然界中物质运动的聚散,也不能隐匿于数学之外。古代的圣贤学者很高明,了解许多数学的精微之处,留下的文字却十分简略,使一般人难于领悟其中之奥秘。探究其因,是因为“数学”与“哲学”同样深奥,本质一致,并不是两回事。

汉代离上古并不很远,有张苍、许商、乘马延年、耿寿昌、郑玄、张衡、刘洪等一批数学家和历算家。他们有的精通天文历法,将算理算法传于后世;有的长于用筹运算,计算结果当时就能得到检验。后世的一些学者,把自己看得太高,鄙视前人成就,不虚心学习,不继承发展,使数学这门学问中有的内容几乎断绝失传。只有懂历法的历算家们会乘除运算,但对高深的“开方术”“大衍术”,就不通晓了。官府的会计事务则只会一一累加进行计算。数学家的地位和作用从不被人们所认识,当权人士对此状况也听之任之。算学家只当作工具使用,数学这门学问遭到鄙视也就理所当然了。

可悲啊!这就犹如制造乐器的人,仅仅只能拨弄出乐器的声音,就说这是与天下的知音者一道奏出了美妙悦耳的乐章,难道能够这样说吗?

当今数学之书,计有30余家。天象历法的计算方法,称之为“缀术”(“逼近之术”);应用于占卜术中的计算有“太乙、六壬、遁甲”,称之为“三式”,这些都称为“内算”,它们的算法是保密的,内传而不外传。《九章算术》所载的内容,就是《周礼》中的“九数”(《九章算术》的九章是:方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股);有关测量方位和地形之高、深、远、近的方法,称为“蚩术”,这些都称为“外算”,它们的算法是公开的。“外算”是相对于“内算”而言。“外算”与“内算”在应用上彼此相通,不应视为两种截然不同的算法。

惟独“大衍术”没有载于《九章算术》之中,未见有人能将“大衍术”的算法程序推演出来。历算家在制定历法时,应用“大衍术”进行计算的颇多;如果以为它是“方程术”,那就谬误了。

宇宙人世间的事情太多,古代人为解决某一问题,先进行策划,再确定方法程序,然后按程序实施行动。他们仰观天文、俯察地理,应用感官、直觉,谨慎地采用各种方法。为让他们取得的成果不致被埋没,便用文字将这些成果记载下来,一代一代流传后世。

后人在做事时,往往从头开始,很少考虑前人已有的成果,渐渐地在解决自然和人事的诸多问题时,混乱不堪、缺少根据。我们为什么不可以对前人的成果多多研究一番呢?

九韶愚昧,才疏识陋,但对学习“六艺”却不曾偷闲。我在青少年时代曾随父亲到过都城(临安,南宋京城,今杭州市),因此有机会访问国家天文台的历算家,向他们学习历算。此外,我还跟随隐居的学者学习数学。那时,蒙古军队入侵四川,长年路途阻塞,自己不得不长期处于战乱之中。尝尽艰险,历经忧患,就这样辗转渡过了10年光阴,使人心力枯竭、元气失落。

但我坚信,世间万物都与数学相关。于是,我很有兴趣地置身于数学之中,向学者、能人求教,深入探索数学之精微,初步取得一些成果。对于数学大的方面,认识自然、理解人生,我并没有什么发现;但在数学小的方面,对于经营事务、分类万物,却有所得,我尝试以问答形式,拟出若干应用问题。历经多年,积累渐增,我怕一旦丢失甚为可惜,于是就取81个问题,分为9类,写出解题方法及运算程序,有的问题还在其中作图以示之。

我的这些成果,或许可供博学多识的学人闲暇之时品赏,这便达到了本书的目的,我也心满意足了。我原本要把数学提升到哲理(道)的高度,实在难以做到。如果有人说这些数学成果不过是历算学家们流传下来的东西,不能满足社会广泛的实际需要。我相信,这也不会使本书黯然失色。

南宋淳佑七年(1247)九月鲁郡秦九韶序。秦九韶《数书九章·序》,短短1000余字,思想深邃,诗文结合,数理交融,视野广阔,充分体现了中华文化的博大精深。从这些译文中,笔者提炼出9点科学思想方法:一是数学应用的普遍性;二是数学与哲学的一致性;三是继承与发展的必要性;四是“内算”与“外算”的统一性;五是应用“数学建模”的综合方法;六是不断虚心学习,方能有所创新;七是“问答术草图”的思维模式;八是数学与文学的高度整合;九是数学原理一旦发现,必须公开。

座落于4A级景区圆觉洞的秦九韶纪念馆

《数书九章》诗译与题目简介

《数书九章》附诗9首,每一章有一首诗。

第一章:大衍类。巍巍昆仑,气势磅礴,世界本原,在于数学。圣人发现推算历法的大衍术,大衍微妙之处源于《周易》。取奇数的竹棍进行运演,一分为二,舍去模的倍数。用“大衍术”,解出未知数,要深入探索奥秘,方知原由。数学这门学问的发生发展,要依靠实际应用做出判断。那本著名的《九章算术》,惟有大衍之术未曾记载。历算家虽然知道如何计算,却不知这些算法之所以然。我尝试做出解释,让人明白。且看如何由特殊推广到一般。

此章内容是统一用“大衍求一术”解各类问题。

1.蓍卦发微。中国古代《易经》中写道:“大衍之数五十,其用四十有九……”记载了人们用蓍草占卦的过程。秦九韶将此过程上升为数学模式,发现其中奥秘,并给以解释。大衍,即大演,意思是演变。“大衍求一术”是秦九韶最重要的数学成果,提 出解一次同余式组的一般算法。

2.古历会积。推导出古代历法中的“上元积年”。一种历法计算时间的起点称为“历元”。例如,汉武帝在公元前104年公布使用的《太初历》的“历元”那一时刻应是:冬至、朔旦(初一)、甲子日、夜半。“上元积年”是推上距离“历元”多久,又是处于冬至、朔旦(初一)、甲子日、夜半,这种状态,即“上元积年”。这个问题,实际是计算“日月处于相同状态的最小公倍数的时间有多少年”。

3.推计土功。给出一些特定的已知条件,计算筑堤的总工程量,以及几个县民工分别筑堤的工程量。

4.推库额钱。推算地方政府的钱库,按照一定的折合率,将税收折换后,应得税收是多少等财政问题。

5.分粜推原。几个人按国家标准的量器分得粮食,然后到几个地方去出售。各地应用的粮食量器标准不一样,由此推求原来这几个人各自分得的粮食。

6.程行计地。通过传递信息所给出的条件,计算路程和时间等问题。

7.程行相及。根据各自的追及速度,推算行程等问题。

8.积尺寻源。根据砖料的大小尺寸等条件,计算总工程量的问题。

9.余米推数。根据几箩米减少后的余数(余米)等条件,分别推知这几箩米原来是多少的问题。

第二章:天时类。七大行星,苍穹回旋,世间诸事,变化多端。用“缀术”逼近天体运动,白天日影测,夜里星象观。历法用久了,误差就增大,历算家就得改革旧历。如果不实际去观测天体,沿袭旧的模式绝对无益。平原山川的农民耕种收获,全靠大自然的风调雨顺。阳光雨露,庄稼滋生,雨水淋淋,雪水润润。农业官员忧心气象天文,下了多少雨?用器皿测量。测量数据以器皿形状变移,各地不统一,忧喜皆非。

此章内容是有关天文、历法、气象等问题。

1.推气治历。已知某两年冬至节气的具体时刻,由此推算这两年之间某一年冬至时刻,以及这一年的回归年时间与360日的差数等历法问题。

2.治历推闰。根据某一历法上甲子年的冬至发生时刻等条,推算实际的回归年时间与该历法纪年时间之差。这个差,又叫“闰”。

3.治历演纪。根据某历法的回归年和朔望月数据,以及某年甲子日后冬至发生时刻,朔望发生在甲子日后的时间等,推演出一系列历法的重要数据(共有23个数据)。

4.缀术推星。根据对木星运行在“合伏段”和“顺行段”的时间和度数的观测数据,应用逼近方法(即“缀术”),计算木星视运动的初速率、末速率及平均速率等问题。

5.揆日究微。“圭表”测定不同地区的日影长度(称之为揆日),探究两地具有相同日影长的时间差,以及不同历法许算中,在同一天的日影长度之差的问题。

6.天池测雨。根据一定尺寸的圆台形状的“天池盒”,测量雨水,用以推算平地“雨水深”的问题。

7.圆罂测雨。根据一定尺寸的圆形小口大腹的“盛酒器”(称为圆罂),测量雨水,用以推算平地“雨水深”的问题。

8.峻积验雪。根据一定尺寸的斜面上积雪的厚度,用以推算出平地上积雪厚度。

9.竹器验雪。根据一定尺寸的圆形竹箩里积雪的厚度,用以推算平地上积雪厚度。

第三章:田域类。百姓虽小,当放首位,审时度势,以观世界。周代实行井田制度,这关系施行仁政所在。历史一朝朝,人口一代代,开垦的土地,一天天增多。需要量度田亩、整治赋税,重要的是精确进行测量统计。田地形状,方圆各异,有斜、有正、有高、有低。测量技术,内容精深,潜心研究,方能辨明。测量之时,差之毫厘,最后结果,谬之千里。于公于私,皆是大弊,征收赋税理当仔细又仔细。

此章内容是有关各种田地面积的计算问题。

1.尖田求积。一个“尖田”,即一个三角形的田;两个“尖田”,组合成一四边形。已知有两尖田的边长,即四边形的四边之长,以及中宽,求这个“尖田”的面积。这是一个几何问题,秦九韶将此题转化为一个解四次方程的代数问题,给出数值解。《数书九章》中,共有6个问题是应用高次方程数值解法。秦九韶命名为“正负开方术”,是一项重要的数学成果。

2.三斜求积。已知三角形(田)三条边的长度,求此三角形(田)的面积。秦九韶得出“三斜求积”的一般公式。

3.斜荡求积。已知呈四边形的一“荡湖”的四边长度,及一边之高,求此“荡湖”面积。

4.计地容民。已知沙洲四边之长,计算这一四边形沙洲的面积。每户分15亩,计算能容纳多少户流民。

5.蕉田求积。有蕉叶形田一块,已知中长和中宽,求此蕉叶形田的面积。

6.均分梯田。已知一梯形田上底、下底及高,三兄弟要平均分。求总面积、三兄弟各分之面积以及分后的三个梯形的上底、下底及高。

7.漂田推积。一块三角形的田,被水冲去一隅,成了一个四边不等的梯形。测出梯形的三边长及高,推算原三角形田的面积等问题。

8.环田三积。有圆环形田、大圆田、小圆田,共3个,已知圆环形田的外圆周长及内圆直径、大圆圈直径、小圆田周长,计算出这3个田的面积。

9.围田先计。这是一个有关“图湖造田”设计蓝图的计算问题。

第四章:测望类。山之不高,莫称高山,水之不深,莫称大川。大禹治水时,测定山川,使用矩尺才得以后传。智慧的创造,巧妙的论述,用“重差术”进行测算。求解之法,详尽而又周全,测量的对象总是变化多端。又高、又深、又广、又远,进行测量决不是容易简单。

有时是形势险要,进之艰难;有时是敌方营垒,不能着边。要求出未知数,怎么办?先后两次用“表”测量。用两次测量之差进行计算,远离其境也可知高深广远。

此章内容是有关测量的问题。

1.望山高远。用标杆(“表”)进行两次测量,根据二次测量之差计算(此法称为“重差术”),以测算出一座山的高度和此山距测点的距离。

2.临台测水。在临靠水边筑成的城台之上,根据一些已知数据,测算“水退的深度”和“涸岸的斜长”等问题。

3.陡岸测水。在陡峭的河岸边,利用一竹竿,测望这条河水面的宽度。

4.表望方城。通过立标杆(“表”)进行测量,计算敌人一座方形城墙的边宽和敌城离测点的距离。

5.遥度圆城。从远处的地方观测一圆形城,已知两个数据,求圆城的直径与周长。

6.望敌圆营。利用立标杆(“表”),进行两次测量,以求出敌人圆营的周长与直径。

7.望敌远近。通过两次测望,应用“重差术”,测量敌军距我方观测点的距离。

8.古池推元。一个圆形的古池已经坍塌,只剩下一个小段,根据一已知数据,推算古池原貌大小。

9.表望浮图。用标杆(“表”)测量佛塔(梵语称为“浮图”)。标杆上部有刻度,经过两次用表测望,计算出佛塔高度等问题,以便修复已倾斜的佛塔。

第五章:赋役类。国家规定,征收赋税,民间百事,正待兴办。要依据田亩人口的多少,取之有度必须进行测算。徭役虽然可以不免,但应事先商量和计算。应用比例分配要恰当,赋税徭役要均匀承担。汉代距古代并不太远,他们以算赋收取租税。协调均衡收的谷与钱,用以抵御灾害、防洪抗旱。当官的要施仁政,为民着想,设身处地,犹如自己溺水挨饿。赋税徭役分配不均,难道能让人心安理得吗?

此章内容是有关赋税、徭役的问题。

1.复邑修赋。被海冲坍的一个县,重新申请恢复县制,即复邑。根据该县各乡上等、中等、下等的田,按土地肥瘠、应用分配比例进行计算,来征收赋税。秦九韶主张,根据实际情况,合理分摊赋税。这正是针对南宋当时不按土地肥瘠、平均征税的时弊。

2.围田租亩。已知兴修围田的总亩数,上、中、下3个等级的田租率、田亩比例,计算三等田各多少亩和各收多少租金。

3.筑埂均劳。4个县共同修筑防洪堤埂,根据4个县派出的人力,计算各县承担的劳动工程量。

4.宽减屯租。根据议定的宽减屯田租额比率,计算有关原来租额、宽减租额、实征租额等问题。

5.户田均宽。州、郡宽减下等税户纳税,但有的下等税户已经交纳了全税,实际上只对拖欠税款的税户实行宽减。为纳税合理,平均都得到宽减,计算明年征税时的各项减免额。

6.均科绵税。某县有上等、副等、中等、次等、下等,共5等蚕农,生产丝绵,这5等要纳税的农户按不同比率交税。已知总户数、总绵税额,计算各户及各等应纳多少绵税的问题。

7.户税移割。甲将自己的田地卖给乙和丙,即田地转户,计算因为田地转移之后,甲乙丙3户各纳多少赋税等问题。

8.移运均劳。有3县5乡,派民工运输边防用军粮,到某郡交纳。要按物力多少、路途远近,平均分摊,使劳费相等。即按“均输法”(配分比例法)计算各县、乡派民工数的问题。

9.均定劝分。动员富有之家卖米以赈济灾民(即劝分)。卖米数量依据富家的物力田亩多少来确定。富家一共分9等。劝富家卖米的数量,按等次,所卖米数依等差递减,计算各等富家卖米多少的问题。

第六章:钱谷类。纳粮上税,要看等级,粮食入库,要看时节。一粒粒粟,一寸寸丝,都是男男女女的劳动所得。官府要向人民征粮收税,后世的腐败之风频频发生。达官贵人相互攀缘,欺诈百姓,这些大小贪官污吏,用尽心机。我曾听说治理财政,理当犹如智者治水。正本清源,有条不乱,治标治本,消除隐患。那些愚蠢贪官视而不见,人民悲惨,还用刑不断。这是离开理智愈来愈远,贪官不仁啊!可叹可叹!

此章内容是有关钱、粮的数学问题。

1.折解轻赍。地方政府(郡)负担的国税,要上交朝廷。国税有3种:现金(金银)、丝绢、佣金(运费)。按规定折算后,要运解京城。这些国税折算为纸币后,称为“轻赍”。其中有一系列计算问题。

2.算回运费。水路运输大米至甲地,已知运费,但只运到中途的乙地,就停下不运,计算要收回多少运费。

3.课籴贵贱。官府派人到5个地区采购大米。5个地方的米价、斗容、运费均有所不同,用统一的纸币和容器标准(官斛),比较各地区收购米价的贵贱。

4.囤积量容。已知盛米圆囤的上口直径、下底直径及高,计算其容量。制作5倍于“租斗容量”的方斛和圆斛,计算其新制方斛、圆斛的尺寸,计算用新制的方斛、圆斛为容量单位,计算盛米圆囤有多少米。

5.积仓知数。官府征购的粮食等待转运,临时存放在仓库和寺屋中。已知这些仓库和寺屋的宽、深、高,计算这些临时仓库一共能存放多少粮食。

6.推知籴数。官府用一定资金收进粮食,要给中间商(南宋时称为“牙人”)付一定的中介费(称为“牙钱”),还要付运输费。计算这些资金能收进多少粮食等问题。

7.分定纲解。地方政府(州郡)将某一税收分给3个部门,分配比例已定,计算各部门可得多少的问题。

8.累收库本。已知官方钱库发放一次性贷款,即本金,以及利率、每月还钱数额,计算要多少个月才能还清本息。

9.米谷粒分。某农户交纳公粮,大米之中夹杂有谷子。随机取出一勺,测出大米和谷子各多少,从而计算出整个交纳公粮中夹杂有多少谷子。秦九韶已会应用随机抽样统计方法。

第七章:营建类。如此房屋,如此城墙,国家栋梁,社会保障。百姓居住的地方,财富聚散的市场。城市建筑作用巨大,一定要制定好规划。如果策划与营造,不合章法,就会劳民伤财,浪费很大。楚昭王围困蔡国时坚木筑墙,这是采纳了子西的建议。汉代工匠设计天文观象台,汉文帝也担忧造价太昂贵。惟有武力才能争夺战功,惟有节俭才能生财积德。国家太平,家庭才有安全,而今我们从哪里取得规范?

此章内容是有关土木建筑工程的问题。

1.计立城筑。修筑一城的设计方案已定,计算这项设计进行施工时,需要各类建筑材料多少。

2.楼橹功料。在修筑城墙之上,要盖瞭望楼。瞭望楼称为楼橹。根据对瞭望楼的设计,计算建造瞭望楼需要各类建筑材料多少。

3.计造石坝。设计建造一座石板砌成的坝,计算需要石板、石灰多少,用工多少。

4.计浚河渠。开通运河,用开河挖出的土修筑河堤。根据设计要求,计算河积、堤积、堤高,以及用工等问题。

5.计作清台。设计建筑一座高台,计算有关该项工程用工等一系列问题。

6.堂皇程筑。官府的大堂,称为堂皇。建筑官府大堂的地基,限定完工时间,计算所需筑土工多少。

7.翻砖计积。“六门砖”是宋代建筑用砖的一种。已知“六门砖”尺寸,以及堆砖若干垛尺寸,计算总砖数,以及铺砌几处地面用多少、余多少。

8.竹围芦束。已知竹子每一捆外围的竿数,求每捆有多少竹子;已知某一规格的芦苇束数,折换为另一规格的芦苇,应有多少束。

9.积木计余。堆成尖垛形的杉木,取用后,只知其中间一层的杉木数,计算原有杉木和余下杉木各多少。

第八章:军旅类。自然界有金木水土火,金属兵器,非有不可。士兵不训练就去打仗,这是上级的严重过错。威威阵容,严严步履,应以鹅鹳行列为楷模。军营布阵,当有规矩,这是将军们的职责。军队打仗要取得胜利,依靠官兵的智、仁、勇。夜读兵书,重在领悟,首先就要讲究谋略。我听说在过去的战例中,轻敌就会缺智寡谋,侥幸就会失败害民,这也是孔子所担忧的。此章内容是有关军营计算、兵器制造、阵法布列、军需供应的问题。

1.计立方营。已知军队人数及每人占地面积,计算建造一个方形营地的面积。

2.方变锐阵。已知军队总人数及每人占地面积,布成正方形阵,然后正方形阵又变为正三角形阵(即锐阵),计算有关问题。

3.计布圆阵。已知步兵人数,布成圆阵,计算有关圆阵的内、外直径等问题。

4.圆营敷布。周代编制一军,布成圆营有9重。当这个圆营敷设开后,计算有关问题。

5.望知敌众。从远处观测敌军圆营,测量出圆营大小,以推算敌军人数。

6.均敷徭役。军队戍边,要安排士兵守烽火台,按照前、后、中、左、右5军人数比例,合理分配各自应该承担的任务。

7.先计军程。已知军队人数、队形及行军速率;路狭,队形发生变化。计算行军路程。

8.军器功程。制造一定数量的军器(弓、箭、刀),已知工匠人数及制造速度,计算工期问题。

9.计造军衣。仓库里有布、绵、絮3种材料,给出已知条件,计算这些材料可为多少士兵制造军衣等问题。

第九章:市物类。太阳东升,市场热闹,万民生计,买卖依靠。商人贸易才能积累财富,一分一毫他们都会计较。为富不仁者奴役贫民百姓,封疆大吏们却要点头称好。舍本求末,兼并财富,这并非合理的治国之道。

此章内容是有关贸易和利息的问题。

1.推求物价。已知贸易商场3次卖出3种货物的总价,计算3种货物的单价。秦九韶应用“互乘相消法”解线性方程组。

2.均货推本。有4人合股出海经商,已知4人入股的资本,已知出海贸易在海关交纳实物商税之后,还余若干货物。计算有关货物价格,以及4人怎样按入股资本分配赢余货物的问题。这又是应用“互乘相消法”解线性方程组。

3.互易推本。有4种商品(或票证)是等价的,经过4次商品交换后,得到的银两数已知,计算原本第一次进行交换的商品数额。

4.菽粟互易。有关豆类(菽)和主要粮食(小麦、大米)进行交易的计算问题。

5.推计互易。糯谷按一定比率加工出糯米,糯米按一定比率换小麦,小麦按一定比率制曲,曲按一定比率将糯米酿造成酒。已知糯米总量,计算经上述“互易”之后的各种问题。

6.炼金计值。金库中有3种成色的金若干,并分别知道这些金的数量与价格。把这些金炼为足色金(纯金),需要加工费用。计算能炼出多少足色金和它的价格。

7.推求本息。已知3个库按货款的数额多少,分段计息,利率不同;又知每库各段计息的比例,计算这3个库各得多少利息。

8.推求典本。典当一物,借期到时,已知本利和、利率和借期,推求典当的本金。

9.僦值推原。已知—租房户现在交纳的租金额,此租房户已多次减过房租,推算原来每日应交房租的数额。

座落于安岳紫竹公园的秦九韶广场

来源:四川省地方志工作办公室

作者:查有梁(四川省社会科学院管理学研究所研究员)

来源: 四川省地方志工作办公室
责任编辑:唐志昂
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