2015年四川省高考数学试卷（文科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1．（5分）设集合M={x|﹣1＜x＜2}，集合N={x|1＜x＜3}，则M∪N=（　　）

A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜2} C．{x|1＜x＜3} D．{x|1＜x＜2}

2．（5分）设向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，则实数x=（　　）

A．2B．3 C．4 D．6 

3．（5分）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（　　）

A．抽签法B．系统抽样法 C．分层抽样法 D．随机数法 

4．（5分）设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log₂a＞log₂b＞0”的（　　）

A．充要条件B．充分不必要条件 

C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件 

5．（5分）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（　　）

A．y=cos（2x+）B．y=sin（2x+） 

C．y=sin2x+cos2xD．y=sinx+cosx 

6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（　　）

A．﹣B． C．﹣ D． 

7．（5分）过双曲线x²﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（　　）

A．B．2 C．6 D．4 

8．（5分）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=e^kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（　　）

A．16小时B．20小时 C．24小时 D．28小时 

9．（5分）设实数x，y满足，则xy的最大值为（　　）

A．B． C．12 D．16 

10．（5分）设直线l与抛物线y²=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）²+y²=r²（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（　　）

A．（1，3）B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4） 

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．（5分）设i是虚数单位，则复数i﹣=　   　．

12．（5分）lg0.01+log₂16的值是　   　．

13．（5分）已知sinα+2cosα=0，则2sinαcosα﹣cos²α的值是　   　．

14．（5分）在三棱住ABC﹣A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设M，N，P分别是AB，BC，B₁C₁的中点，则三棱锥P﹣A₁MN的体积是　   　．

15．（5分）已知函数f（x）=2^x，g（x）=x²+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x₁、x₂，设m=，n=．现有如下命题：

①对于任意不相等的实数x₁、x₂，都有m＞0；

②对于任意的a及任意不相等的实数x₁、x₂，都有n＞0；

③对于任意的a，存在不相等的实数x₁、x₂，使得m=n；

④对于任意的a，存在不相等的实数x₁、x₂，使得m=﹣n．

其中的真命题有　   　（写出所有真命题的序号）．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（12分）设数列{a_n}（n=1，2，3…）的前n项和S_n，满足S_n=2a_n﹣a₁，且a₁，a₂+1，a₃成等差数列．

（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）设数列的前n项和为T_n，求T_n．

17．（12分）一辆小客车上有5名座位，其座号为1，2，3，4，5，乘客P₁，P₂，P₃，P₄，P₅的座位号分别为1，2，3，4，5．他们按照座位号顺序先后上车，乘客P₁因身体原因没有坐自己1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位．如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位．

（Ⅰ）若乘客P₁坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法．下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就坐的座位号填入表中空格处）

（Ⅱ）若乘客P₁坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客P₅坐到5号座位的概率．

18．（12分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．

（Ⅰ）请按字母F，G，H标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）

（Ⅱ）判断平面BEG与平面ACH的位置关系．并说明你的结论．

（Ⅲ）证明：直线DF⊥平面BEG．

19．（12分）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x²+px﹣p+1=0（p∈R）两个实根．

（Ⅰ）求C的大小

（Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．

20．（13分）如图，椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率是，点P（0，1）在短轴CD上，且•=﹣1

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点．是否存在常数λ，使得•+λ•为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．

21．（14分）已知函数f（x）=﹣2xlnx+x²﹣2ax+a²，其中a＞0．

（Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；

（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．

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2015年四川省高考数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1．（5分）设集合M={x|﹣1＜x＜2}，集合N={x|1＜x＜3}，则M∪N=（　　）

A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜2} C．{x|1＜x＜3} D．{x|1＜x＜2} 

【考点】1D：并集及其运算．菁优网版权所有

【专题】5J：集合．

【分析】根据并集的定义解答即可．

【解答】解：根据并集的定义知：M∪N={x|﹣1＜x＜3}，

故选：A．

【点评】本题考查了并集运算，熟练掌握并集的定义是解题的关键．

2．（5分）设向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，则实数x=（　　）

A．2B．3 C．4 D．6 

【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．菁优网版权所有

【专题】5A：平面向量及应用．

【分析】利用向量共线的充要条件得到坐标的关系求出x．

【解答】解；因为向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，

所以4x=2×6，解得x=3；

故选：B．

【点评】本题考查了向量共线的坐标关系；如果两个向量向量=（x，y）与向量=（m，n）共线，那么xn=ym．

3．（5分）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（　　）

A．抽签法B．系统抽样法 C．分层抽样法 D．随机数法 

【考点】B5：收集数据的方法．菁优网版权所有

【专题】12：应用题；5I：概率与统计．

【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．

【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，

而事先已经了解到三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，这种方式具有代表性，比较合理．

故选：C．

【点评】本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题．

4．（5分）设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log₂a＞log₂b＞0”的（　　）

A．充要条件B．充分不必要条件 

C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件 

【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．菁优网版权所有

【专题】5L：简易逻辑．

【分析】先求出log₂a＞log₂b＞0的充要条件，再和a＞b＞1比较，从而求出答案．

【解答】解：若log₂a＞log₂b＞0，则a＞b＞1，

故“a＞b＞1”是“log₂a＞log₂b＞0”的充要条件，

故选：A．

【点评】本题考察了充分必要条件，考察对数函数的性质，是一道基础题．

5．（5分）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（　　）

A．y=cos（2x+）B．y=sin（2x+） 

C．y=sin2x+cos2xD．y=sinx+cosx 

【考点】GP：两角和与差的三角函数；H1：三角函数的周期性．菁优网版权所有

【专题】57：三角函数的图像与性质．

【分析】求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可．

【解答】解：

y=cos（2x+）=﹣sin2x，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A正确

y=sin（2x+）=cos2x，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B不正确；

y=sin2x+cos2x=sin（2x+），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C不正确；

y=sinx+cosx=sin（x+），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D不正确；

故选：A．

【点评】本题考查两角和与差的三角函数，函数的奇偶性以及红丝带周期的求法，考查计算能力．

6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（　　）

A．﹣B． C．﹣ D． 

【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有

【专题】27：图表型；5K：算法和程序框图．

【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k的值，当k=5时满足条件k＞4，计算并输出S的值为．

【解答】解：模拟执行程序框图，可得

k=1

k=2

不满足条件k＞4，k=3

不满足条件k＞4，k=4

不满足条件k＞4，k=5

满足条件k＞4，S=sin=，

输出S的值为．

故选：D．

【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．

7．（5分）过双曲线x²﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（　　）

A．B．2 C．6 D．4 

【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有

【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】求出双曲线的渐近线方程，求出AB的方程，得到AB坐标，即可求解|AB|．

【解答】解：双曲线x²﹣=1的右焦点（2，0），渐近线方程为y=，

过双曲线x²﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，x=2，

可得y_A=2，y_B=﹣2，

∴|AB|=4．

故选：D．

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查基本知识的应用．

8．（5分）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=e^kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（　　）

A．16小时B．20小时 C．24小时 D．28小时 

【考点】4D：指数函数的实际应用．菁优网版权所有

【专题】51：函数的性质及应用．

【分析】由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系，由已知构造方程组求出e^k，e^b的值，运用指数幂的运算性质求解e^33k+b即可．

【解答】解：y=e^kx+b （e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．

当x=0时，e^b=192，

当x=22时e^22k+b=48，

∴e^22k==

e^11k=

e^b=192

当x=33时，e^33k+b=（e^11k）³•（e^b）=（）³×192=24

故选：C．

【点评】本题考查的知识点是函数解析式的运用，列出方程求解即可，注意整体求解．

9．（5分）设实数x，y满足，则xy的最大值为（　　）

A．B． C．12 D．16 

【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有

【专题】59：不等式的解法及应用．

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用基本不等式进行求解即可．

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图；

由图象知y≤10﹣2x，

则xy≤x（10﹣2x）=2x（5﹣x））≤2（）²=，

当且仅当x=，y=5时，取等号，

经检验（，5）在可行域内，

故xy的最大值为，

法2：设z=xy，则y=为双曲线，

要使z=xy最大，则z＞0，

∵由图象可知当z=xy与2x+y=10相切时，z=xy取得最大值，

∴2x+=10

即2x²﹣10x+z=0，

由判别式△=100﹣8z=0，得x==，

即xy的最大值为，

故选：A．

【点评】本题主要考查线性规划以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决本题的关键．

10．（5分）设直线l与抛物线y²=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）²+y²=r²（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（　　）

A．（1，3）B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4） 

【考点】J9：直线与圆的位置关系；K8：抛物线的性质．菁优网版权所有

【专题】15：综合题；2：创新题型；26：开放型；5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】先确定M的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2，所以交点与圆心（5，0）的距离为4，即可得出结论．

【解答】解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），

斜率存在时，设斜率为k，则y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，

则，相减，得（y₁+y₂）（y₁﹣y₂）=4（x₁﹣x₂），

当l的斜率存在时，利用点差法可得ky₀=2，

因为直线与圆相切，所以=﹣，所以x₀=3，

即M的轨迹是直线x=3．

将x=3代入y²=4x，得y²=12，∴﹣2，

∵M在圆上，∴（x₀﹣5）²+y₀²=r²，∴r²=y₀²+4＜12+4=16，

∵直线l恰有4条，∴y₀≠0，∴4＜r²＜16，

故2＜r＜4时，直线l有2条；

斜率不存在时，直线l有2条；

所以直线l恰有4条，2＜r＜4，

故选：D．

【点评】本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．（5分）设i是虚数单位，则复数i﹣=　2i　．

【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有

【专题】5N：数系的扩充和复数．

【分析】直接利用复数的运算法则求解即可．

【解答】解：复数i﹣=i﹣=i+i=2i．

故答案为：2i．

【点评】本题考查复数的基本运算，考查计算能力．

12．（5分）lg0.01+log₂16的值是　2　．

【考点】4H：对数的运算性质．菁优网版权所有

【专题】51：函数的性质及应用．

【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可．

【解答】解：lg0.01+log₂16=﹣2+4=2．

故答案为：2．

【点评】本题考查对数的运算法则的应用，考查计算能力．

13．（5分）已知sinα+2cosα=0，则2sinαcosα﹣cos²α的值是　﹣1　．

【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．菁优网版权所有

【专题】56：三角函数的求值．

【分析】已知等式移项变形求出tanα的值，原式利用同角三角函数间的基本关系化简，将tanα的值代入计算即可求出值．

【解答】解：∵sinα+2cosα=0，即sinα=﹣2cosα，

∴tanα=﹣2，

则原式=====﹣1，

故答案为：﹣1

【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．

14．（5分）在三棱住ABC﹣A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设M，N，P分别是AB，BC，B₁C₁的中点，则三棱锥P﹣A₁MN的体积是　　．

【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有

【专题】5F：空间位置关系与距离．

【分析】判断三视图对应的几何体的形状，画出图形，利用三视图的数据，求解三棱锥P﹣AMN的体积即可．

【解答】解：由三视图可知，可知几何体的图形如图：几何体是底面为等腰直角三角形直角边长为1，高为1的直三棱柱，底面积为，所求三棱锥的高为NP=1，三棱锥底面积是三棱柱底面三角形的，

所求三棱锥P﹣A₁MN的体积是：=．

故答案为：．

【点评】本题考查三视图与直观图的关系，组作出几何体的直观图是解题的关键之一，考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．

15．（5分）已知函数f（x）=2^x，g（x）=x²+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x₁、x₂，设m=，n=．现有如下命题：

①对于任意不相等的实数x₁、x₂，都有m＞0；

②对于任意的a及任意不相等的实数x₁、x₂，都有n＞0；

③对于任意的a，存在不相等的实数x₁、x₂，使得m=n；

④对于任意的a，存在不相等的实数x₁、x₂，使得m=﹣n．

其中的真命题有　①④　（写出所有真命题的序号）．

【考点】2K：命题的真假判断与应用．菁优网版权所有

【专题】2：创新题型；26：开放型；51：函数的性质及应用．

【分析】运用指数函数的单调性，即可判断①；由二次函数的单调性，即可判断②；

通过函数h（x）=x²+ax﹣2^x，求出导数判断单调性，即可判断③；

通过函数h（x）=x²+ax+2^x，求出导数判断单调性，即可判断④．

【解答】解：对于①，由于2＞1，由指数函数的单调性可得f（x）在R上递增，即有m＞0，则①正确；

对于②，由二次函数的单调性可得g（x）在（﹣∞，﹣）递减，在（﹣，+∞）递增，则n＞0不恒成立，

则②错误；

对于③，由m=n，可得f（x₁）﹣f（x₂）=g（x₁）﹣g（x₂），即为g（x₁）﹣f（x₁）=g（x₂）﹣f（x₂），

考查函数h（x）=x²+ax﹣2^x，h′（x）=2x+a﹣2^xln2，

当a→﹣∞，h′（x）小于0，h（x）单调递减，则③错误；

对于④，由m=﹣n，可得f（x₁）﹣f（x₂）=﹣[g（x₁）﹣g（x₂）]，考查函数h（x）=x²+ax+2^x，

h′（x）=2x+a+2^xln2，对于任意的a，h′（x）不恒大于0或小于0，则④正确．

故答案为：①④．

【点评】本题考查函数的单调性及运用，注意运用指数函数和二次函数的单调性，以及导数判断单调性是解题的关键．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（12分）设数列{a_n}（n=1，2，3…）的前n项和S_n，满足S_n=2a_n﹣a₁，且a₁，a₂+1，a₃成等差数列．

（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）设数列的前n项和为T_n，求T_n．

【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和．菁优网版权所有

【专题】54：等差数列与等比数列．

【分析】（Ⅰ）由条件S_n满足S_n=2a_n﹣a₁，求得数列{a_n}为等比数列，且公比q=2；再根据a₁，a₂+1，a₃成等差数列，求得首项的值，可得数列{a_n}的通项公式．

（Ⅱ）由于=，利用等比数列的前n项和公式求得数列的前n项和T_n．

【解答】解：（Ⅰ）由已知S_n=2a_n﹣a₁，有

a_n=S_n﹣S_n﹣1=2a_n﹣2a_n﹣1（n≥2），

即a_n=2a_n﹣1（n≥2），

从而a₂=2a₁，a₃=2a₂=4a₁．

又因为a₁，a₂+1，a₃成等差数列，即a₁+a₃=2（a₂+1）

所以a₁+4a₁=2（2a₁+1），

解得：a₁=2．

所以，数列{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列．

故a_n=2ⁿ．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得=，

所以T_n=+++…+==1﹣．

【点评】本题主要考查数列的前n项和与第n项的关系，等差、等比数列的定义和性质，等比数列的前n项和公式，属于中档题．

17．（12分）一辆小客车上有5名座位，其座号为1，2，3，4，5，乘客P₁，P₂，P₃，P₄，P₅的座位号分别为1，2，3，4，5．他们按照座位号顺序先后上车，乘客P₁因身体原因没有坐自己1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位．如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位．

（Ⅰ）若乘客P₁坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法．下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就坐的座位号填入表中空格处）

（Ⅱ）若乘客P₁坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客P₅坐到5号座位的概率．

【考点】CS：概率的应用．菁优网版权所有

【专题】12：应用题；5I：概率与统计．

【分析】（Ⅰ）根据题意，可以完成表格；

（Ⅱ）列表，确定所有可能的坐法，再求出乘客P₁坐到5号座位的概率．

【解答】解：（Ⅰ）余下两种坐法：

（Ⅱ）若乘客P₁坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，则

所有可能的坐法可用下表表示为

于是，所有可能的坐法共8种，

设“乘客P₅坐到5号座位”为事件A，则事件A中的基本事件的个数为4，所以P（A）==．

答：乘客P₅坐到5号座位的概率是．

【点评】本题考查概率的运用，考查学生的计算能力，列表确定基本事件的个数是关键．

18．（12分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．

（Ⅰ）请按字母F，G，H标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）

（Ⅱ）判断平面BEG与平面ACH的位置关系．并说明你的结论．

（Ⅲ）证明：直线DF⊥平面BEG．

【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系；LW：直线与平面垂直．菁优网版权所有

【专题】5F：空间位置关系与距离．

【分析】（Ⅰ）直接标出点F，G，H的位置．

（Ⅱ）先证BCHE为平行四边形，可知BE∥平面ACH，同理可证BG∥平面ACH，即可证明平面BEG∥平面ACH．

（Ⅲ）连接FH，由DH⊥EG，又DH⊥EG，EG⊥FH，可证EG⊥平面BFHD，从而可证DF⊥EG，同理DF⊥BG，即可证明DF⊥平面BEG．

【解答】解：（Ⅰ）点F，G，H的位置如图所示．

（Ⅱ）平面BEG∥平面ACH，证明如下：

∵ABCD﹣EFGH为正方体，

∴BC∥FG，BC=EH，

又FG∥EH，FG=EH，

∴BC∥EH，BC=EH，

∴BCHE为平行四边形．

∴BE∥CH，

又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，

∴BE∥平面ACH，

同理BG∥平面ACH，

又BE∩BG=B，

∴平面BEG∥平面ACH．

（Ⅲ）连接FH，

∵ABCD﹣EFGH为正方体，

∴DH⊥EG，

又∵EG⊂平面EFGH，

∴DH⊥EG，

又EG⊥FH，EG∩FH=O，

∴EG⊥平面BFHD，

又DF⊂平面BFHD，

∴DF⊥EG，

同理DF⊥BG，

又∵EG∩BG=G，

∴DF⊥平面BEG．

【点评】本题主要考查了简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基础知识，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．

19．（12分）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x²+px﹣p+1=0（p∈R）两个实根．

（Ⅰ）求C的大小

（Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．

【考点】GP：两角和与差的三角函数；HP：正弦定理．菁优网版权所有

【专题】51：函数的性质及应用；58：解三角形．

【分析】（Ⅰ）由判别式△=3p²+4p﹣4≥0，可得p≤﹣2，或p≥，由韦达定理，有tanA+tanB=﹣p，tanAtanB=1﹣p，由两角和的正切函数公式可求tanC=﹣tan（A+B）=，结合C的范围即可求C的值．

（Ⅱ）由正弦定理可求sinB==，解得B，A，由两角和的正切函数公式可求tanA=tan75°，从而可求p=﹣（tanA+tanB）的值．

【解答】解：（Ⅰ）由已知，方程x²+px﹣p+1=0的判别式：△=（p）²﹣4（﹣p+1）=3p²+4p﹣4≥0，

所以p≤﹣2，或p≥．

由韦达定理，有tanA+tanB=﹣p，tanAtanB=1﹣p．

所以，1﹣tanAtanB=1﹣（1﹣p）=p≠0，

从而tan（A+B）==﹣=﹣．

所以tanC=﹣tan（A+B）=，

所以C=60°．

（Ⅱ）由正弦定理，可得sinB===，

解得B=45°，或B=135°（舍去）．

于是，A=180°﹣B﹣C=75°．

则tanA=tan75°=tan（45°+30°）===2+．

所以p=﹣（tanA+tanB）=﹣（2+）=﹣1﹣．

【点评】本题主要考查了和角公式、诱导公式、正弦定理等基础知识，考查了运算求解能力，考查了函数与方程、化归与转化等数学思想的应用，属于中档题．

20．（13分）如图，椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率是，点P（0，1）在短轴CD上，且•=﹣1

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点．是否存在常数λ，使得•+λ•为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．

【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有

【专题】26：开放型；5C：向量与圆锥曲线；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】（Ⅰ）通过e=、•=﹣1，计算即得a=2、b=，进而可得结论；

（Ⅱ）分情况对直线AB斜率的存在性进行讨论：①当直线AB的斜率存在时，联立直线AB与椭圆方程，利用韦达定理计算可得当λ=1时•+λ•=﹣3；②当直线AB的斜率不存在时，•+λ•=﹣3．

【解答】解：（Ⅰ）根据题意，可得C（0，﹣b），D（0，b），

又∵P（0，1），且•=﹣1，

∴，解得a=2，b=，

∴椭圆E的方程为：+=1；

（Ⅱ）结论：存在常数λ=1，使得•+λ•为定值﹣3．

理由如下：

对直线AB斜率的存在性进行讨论：

①当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+1，

A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

联立，消去y并整理得：（1+2k²）x²+4kx﹣2=0，

∵△=（4k）²+8（1+2k²）＞0，

∴x₁+x₂=﹣，x₁x₂=﹣，

从而•+λ•=x₁x₂+y₁y₂+λ[x₁x₂+（y₁﹣1）（y₂﹣1）]

=（1+λ）（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1

=

=﹣﹣λ﹣2．

∴当λ=1时，﹣﹣λ﹣2=﹣3，

此时•+λ•=﹣3为定值；

②当直线AB的斜率不存在时，直线AB即为直线CD，

此时•+λ•=+=﹣2﹣1=﹣3；

故存在常数λ=1，使得•+λ•为定值﹣3．

【点评】本题考查椭圆的标准方程、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，注意解题方法的积累，属于难题．

21．（14分）已知函数f（x）=﹣2xlnx+x²﹣2ax+a²，其中a＞0．

（Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；

（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．

【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有

【专题】26：开放型；53：导数的综合应用．

【分析】（I）函数f（x）=﹣2xlnx+x²﹣2ax+a²，其中a＞0．可得：x＞0．g（x）=f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a），可得g′（x）==，分别解出g′（x）＜0，g′（x）＞0，即可得出单调性．

（II）由f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a）=0，可得a=x﹣1﹣lnx，代入f（x）可得：u（x）=（1+lnx）²﹣2xlnx，利用函数零点存在定理可得：存在x₀∈（1，e），使得u（x₀）=0，令a₀=x₀﹣1﹣lnx₀=v（x₀），再利用导数研究其单调性即可得出．

【解答】（I）解：函数f（x）=﹣2xlnx+x²﹣2ax+a²，其中a＞0．可得：x＞0．

g（x）=f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a），∴g′（x）==，

当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；

当1＜x时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．

（II）证明：由f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a）=0，解得a=x﹣1﹣lnx，

令u（x）=﹣2xlnx+x²﹣2（x﹣1﹣lnx）x+（x﹣1﹣lnx）²=（1+lnx）²﹣2xlnx，

则u（1）=1＞0，u（e）=2（2﹣e）＜0，

∴存在x₀∈（1，e），使得u（x₀）=0，

令a₀=x₀﹣1﹣lnx₀=v（x₀），其中v（x）=x﹣1﹣lnx（x≥1），

由v′（x）=1﹣≥0，可得：函数v（x）在区间（1，+∞）上单调递增．

∴0=v（1）＜a₀=v（x₀）＜v（e）=e﹣2＜1，即a₀∈（0，1），当a=a₀时，有f′（x₀）=0，f（x₀）=u（x₀）=0．

再由（I）可知：f′（x）在区间（1，+∞）上单调递增，

当x∈（1，x₀）时，f′（x）＜0，∴f（x）＞f（x₀）=0；

当x∈（x₀，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）＞f（x₀）=0；

又当x∈（0，1]，f（x）=﹣2xlnx＞0．

故当x∈（0，+∞）时，f（x）≥0恒成立．

综上所述：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．

【点评】本题考查了导数的运算法则、函数的零点、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．