2013年四川省高考数学试卷（文科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1．（5分）设集合A={1，2，3}，集合B={﹣2，2}，则A∩B=（　　）

A．∅ B．{2} 

C．{﹣2，2} D．{﹣2，1，2，3} 

2．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（　　）

A．棱柱B．棱台 C．圆柱 D．圆台 

3．（5分）如图，在复平面内，点A表示复数z的共轭复数，则复数z对应的点是（　　）

A．AB．B C．C D．D 

4．（5分）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则（　　）

A．￢p：∃x∈A，2x∈BB．￢p：∃x∉A，2x∈B C．￢p：∃x∈A，2x∉B D．￢p：∀x∉A，2x∉B 

5．（5分）抛物线y²=8x的焦点到直线的距离是（　　）

A．B．2 C． D．1 

6．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（　　）

A．B． C． D． 

7．（5分）某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[0，5），[5，10），…，[30，35），[35，40]时，所作的频率分布直方图是（　　）

A． B． 

C． D． 

8．（5分）若变量x，y满足约束条件且z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是（　　）

A．48B．30 C．24 D．16 

9．（5分）从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F₁，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP（O是坐标原点），则该椭圆的离心率是（　　）

A．B． C． D． 

10．（5分）设函数f（x）=（a∈R，e为自然对数的底数）．若存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立，则a的取值范围是（　　）

A．[1，e]B．[1，1+e] C．[e，1+e] D．[0，1] 

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．（5分）lg+lg的值是　   　．

12．（5分）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，+=λ，则λ=　   　．

13．（5分）已知函数f（x）=4x+（x＞0，a＞0）在x=3时取得最小值，则a=　   　．

14．（5分）设sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tan2α的值是　   　．

15．（5分）在平面直角坐标系内，到点A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1）的距离之和最小的点的坐标是　   　．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（12分）在等比数列{a_n}中，a₂﹣a₁=2，且2a₂为3a₁和a₃的等差中项，求数列{a_n}的首项、公比及前n项和．

17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos（A﹣B）cosB﹣sin（A﹣B）sin（A+C）=﹣．

（Ⅰ）求sinA的值；

（Ⅱ）若a=4，b=5，求向量在方向上的投影．

18．（12分）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生．

（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率P_i（i=1，2，3）；

（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i（i=1，2，3）的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．

甲的频数统计表（部分）                  

乙的频数统计表（部分）

当n=2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大．

19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AB=AC=2AA₁=2，∠BAC=120°，D，D₁分别是线段BC，B₁C₁的中点，P是线段AD上异于端点的点．

（Ⅰ）在平面ABC内，试作出过点P与平面A₁BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD₁A₁；

（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A₁﹣QC₁D的体积．（锥体体积公式：，其中S为底面面积，h为高）

20．（13分）已知圆C的方程为x²+（y﹣4）²=4，点O是坐标原点．直线l：y=kx与圆C交于M，N两点．

（Ⅰ）求k的取值范围；

（Ⅱ）设Q（m，n）是线段MN上的点，且．请将n表示为m的函数．

21．（14分）已知函数，其中a是实数．设A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））为该函数图象上的两点，且x₁＜x₂．

（Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x₂＜0，证明：x₂﹣x₁≥1；

（Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．

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2013年四川省高考数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1．（5分）设集合A={1，2，3}，集合B={﹣2，2}，则A∩B=（　　）

A．∅B．{2} C．{﹣2，2} D．{﹣2，1，2，3} 

【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有

【专题】11：计算题．

【分析】找出A与B的公共元素即可求出交集．

【解答】解：∵集合A={1，2，3}，集合B={﹣2，2}，

∴A∩B={2}．

故选：B．

【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

2．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（　　）

A．棱柱B．棱台 C．圆柱 D．圆台 

【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有

【专题】5F：空间位置关系与距离．

【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．

【解答】解：由三视图知，从正面和侧面看都是梯形，

从上面看为圆形，下面看是圆形，并且可以想象到该几何体是圆台，

则该几何体可以是圆台．

故选：D．

【点评】考查学生对圆锥三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．

3．（5分）如图，在复平面内，点A表示复数z的共轭复数，则复数z对应的点是（　　）

A．AB．B C．C D．D 

【考点】A1：虚数单位i、复数；A4：复数的代数表示法及其几何意义．菁优网版权所有

【专题】11：计算题．

【分析】直接利用共轭复数的定义，找出点A表示复数z的共轭复数的点即可．

【解答】解：两个复数是共轭复数，两个复数的实部相同，虚部相反，对应的点关于x轴对称．

所以点A表示复数z的共轭复数的点是B．

故选：B．

【点评】本题考查复数与共轭复数的关系，复数的几何意义，基本知识的考查．

4．（5分）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则（　　）

A．￢p：∃x∈A，2x∈BB．￢p：∃x∉A，2x∈B C．￢p：∃x∈A，2x∉B D．￢p：∀x∉A，2x∉B 

【考点】2I：存在量词和特称命题；2J：命题的否定．菁优网版权所有

【专题】29：规律型．

【分析】“全称命题”的否定一定是“存在性命题”据此可解决问题．

【解答】解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，

∴命题p：∀x∈A，2x∈B 的否定是：

￢p：∃x∈A，2x∉B．

故选：C．

【点评】本小题主要考查命题的否定、命题的否定的应用等基础知识．属于基础题．命题的否定即命题的对立面．“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述．如“对所有的…都成立”与“至少有一个…不成立”；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”．

5．（5分）抛物线y²=8x的焦点到直线的距离是（　　）

A．B．2 C． D．1 

【考点】IT：点到直线的距离公式；K8：抛物线的性质．菁优网版权所有

【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】由抛物线y²=8x得焦点F（2，0），再利用点到直线的距离公式可得点F（2，0）到直线的距离．

【解答】解：由抛物线y²=8x得焦点F（2，0），

∴点F（2，0）到直线的距离d==1．

故选：D．

【点评】熟练掌握抛物线的性质和点到直线的距离公式是解题的关键．

6．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（　　）

A．B． C． D． 

【考点】HL：y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．菁优网版权所有

【专题】57：三角函数的图像与性质．

【分析】根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的x值，求出函数的周期T==π，解得ω=2．由函数当x=时取得最大值2，得到+φ=+kπ（k∈Z），取k=0得到φ=﹣．由此即可得到本题的答案．

【解答】解：∵在同一周期内，函数在x=时取得最大值，x=时取得最小值，

∴函数的周期T满足=﹣=，

由此可得T==π，解得ω=2，

得函数表达式为f（x）=2sin（2x+φ）

又∵当x=时取得最大值2，

∴2sin（2•+φ）=2，可得+φ=+2kπ（k∈Z）

∵，∴取k=0，得φ=﹣

故选：A．

【点评】本题给出y=Asin（ωx+φ）的部分图象，求函数的表达式．着重考查了三角函数的图象与性质、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换等知识，属于基础题．

7．（5分）某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[0，5），[5，10），…，[30，35），[35，40]时，所作的频率分布直方图是（　　）

A．

B．

C．

D．

【考点】B8：频率分布直方图；BA：茎叶图．菁优网版权所有

【专题】5I：概率与统计．

【分析】根据题意，由频率与频数的关系，计算可得各组的频率，进而可以做出频率分布表，结合分布表，进而可以做出频率分布直方图．

【解答】解：根据题意，频率分布表可得：

进而可以作频率直方图可得：

故选：A．

【点评】本题考查频率分布直方图的作法与运用，关键是正确理解频率分布表、频率分步直方图的意义并运用．

8．（5分）若变量x，y满足约束条件且z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是（　　）

A．48B．30 C．24 D．16 

【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；59：不等式的解法及应用．

【分析】先根据条件画出可行域，设z=5y﹣x，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线，过可行域内的点B（8，0）时的最小值，过点A（4，4）时，5y﹣x最大，从而得到a﹣b的值．

【解答】解：满足约束条件的可行域如图所示

在坐标系中画出可行域，

平移直线5y﹣x=0，经过点B（8，0）时，5y﹣x最小，最小值为：﹣8，

则目标函数z=5y﹣x的最小值为﹣8．

经过点A（4，4）时，5y﹣x最大，最大值为：16，

则目标函数z=5y﹣x的最大值为16．

z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是：24．

故选：C．

【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．

9．（5分）从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F₁，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP（O是坐标原点），则该椭圆的离心率是（　　）

A．B． C． D． 

【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；16：压轴题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】依题意，可求得点P的坐标P（﹣c，），由AB∥OP⇒k_AB=k_OP⇒b=c，从而可得答案．

【解答】解：依题意，设P（﹣c，y₀）（y₀＞0），

则+=1，

∴y₀=，

∴P（﹣c，），

又A（a，0），B（0，b），AB∥OP，

∴k_AB=k_OP，即==，

∴b=c．

设该椭圆的离心率为e，则e²====，

∴椭圆的离心率e=．

故选：C．

【点评】本题考查椭圆的简单性质，求得点P的坐标（﹣c，）是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．

10．（5分）设函数f（x）=（a∈R，e为自然对数的底数）．若存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立，则a的取值范围是（　　）

A．[1，e]B．[1，1+e] C．[e，1+e] D．[0，1] 

【考点】53：函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；16：压轴题；51：函数的性质及应用．

【分析】根据题意，问题转化为“存在b∈[0，1]，使f（b）=f^﹣1（b）”，即y=f（x）的图象与函数y=f^﹣1（x）的图象有交点，且交点的横坐标b∈[0，1]．由y=f（x）的图象与y=f^﹣1（x）的图象关于直线y=x对称，得到函数y=f（x）的图象与y=x有交点，且交点横坐标b∈[0，1]．因此，将方程化简整理得e^x=x²﹣x+a，记F（x）=e^x，G（x）=x²﹣x+a，由零点存在性定理建立关于a的不等式组，解之即可得到实数a的取值范围．

【解答】解：由f（f（b））=b，可得f（b）=f^﹣1（b）

其中f^﹣1（x）是函数f（x）的反函数

因此命题“存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立”，转化为

“存在b∈[0，1]，使f（b）=f^﹣1（b）”，

即y=f（x）的图象与函数y=f^﹣1（x）的图象有交点，

且交点的横坐标b∈[0，1]，

∵y=f（x）的图象与y=f^﹣1（x）的图象关于直线y=x对称，

∴y=f（x）的图象与函数y=f^﹣1（x）的图象的交点必定在直线y=x上，

由此可得，y=f（x）的图象与直线y=x有交点，且交点横坐标b∈[0，1]，

根据，化简整理得e^x=x²﹣x+a

记F（x）=e^x，G（x）=x²﹣x+a，在同一坐标系内作出它们的图象，

可得，即，解之得1≤a≤e

即实数a的取值范围为[1，e]

故选：A．

【点评】本题给出含有根号与指数式的基本初等函数，在存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立的情况下，求参数a的取值范围．着重考查了基本初等函数的图象与性质、函数的零点存在性定理和互为反函数的两个函数的图象特征等知识，属于中档题．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．（5分）lg+lg的值是　1　．

【考点】4H：对数的运算性质．菁优网版权所有

【专题】11：计算题．

【分析】直接利用对数的运算性质求解即可．

【解答】解：==1．

故答案为：1．

【点评】本题考查对数的运算性质，基本知识的考查．

12．（5分）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，+=λ，则λ=　　．

【考点】9H：平面向量的基本定理．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；5A：平面向量及应用．

【分析】依题意，+=，而=2，从而可得答案．

【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，

∴+=，

又O为AC的中点，

∴=2，

∴+=2，

∵+=λ，

∴λ=2．

故答案为：2．

【点评】本题考查平面向量的基本定理及其意义，属于基础题．

13．（5分）已知函数f（x）=4x+（x＞0，a＞0）在x=3时取得最小值，则a=　36　．

【考点】7F：基本不等式及其应用．菁优网版权所有

【专题】52：导数的概念及应用；59：不等式的解法及应用．

【分析】由题设函数在x=3时取得最小值，可得 f′（3）=0，解此方程即可得出a的值．

【解答】解：由题设函数在x=3时取得最小值，

∵x∈（0，+∞），

∴得x=3必定是函数的极值点，

∴f′（3）=0，

f′（x）=4﹣，

即4﹣=0，

解得a=36．

故答案为：36．

【点评】本题考查利用导数求函数的最值及利用导数求函数的极值，解题的关键是理解“函数在x=3时取得最小值”，将其转化为x=3处的导数为0等量关系．

14．（5分）设sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tan2α的值是　　．

【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GS：二倍角的三角函数．菁优网版权所有

【专题】16：压轴题；56：三角函数的求值．

【分析】已知等式左边利用二倍角的正弦函数公式化简，根据sinα不为0求出cosα的值，由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，进而求出tanα的值，所求式子利用二倍角的正切函数公式化简后，将tanα的值代入计算即可求出值．

【解答】解：∵sin2α=2sinαcosα=﹣sinα，α∈（，π），

∴cosα=﹣，sinα==，

∴tanα=﹣，

则tan2α===．

故答案为：

【点评】此题考查了二倍角的正弦、正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．

15．（5分）在平面直角坐标系内，到点A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1）的距离之和最小的点的坐标是　（2，4）　．

【考点】IM：两条直线的交点坐标．菁优网版权所有

【专题】16：压轴题；5B：直线与圆．

【分析】如图，设平面直角坐标系中任一点P，利用三角形中两边之和大于第三边得PA+PB+PC+PD=PB+PD+PA+PC≥BD+AC=QA+QB+QC+QD，从而得到四边形ABCD对角线的交点Q即为所求距离之和最小的点．再利用两点式方程求解对角线所在的直线方程，联立方程组求交点坐标即可．

【解答】解：如图，设平面直角坐标系中任一点P，

P到点A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1）的距离之和为：PA+PB+PC+PD=PB+PD+PA+PC≥BD+AC=QA+QB+QC+QD，

故四边形ABCD对角线的交点Q即为所求距离之和最小的点．

∵A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1），

∴AC，BD的方程分别为：，，

即2x﹣y=0，x+y﹣6=0．

解方程组得Q（2，4）．

故答案为：（2，4）．

【点评】本小题主要考查直线方程的应用、三角形的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（12分）在等比数列{a_n}中，a₂﹣a₁=2，且2a₂为3a₁和a₃的等差中项，求数列{a_n}的首项、公比及前n项和．

【考点】84：等差数列的通项公式；88：等比数列的通项公式；89：等比数列的前n项和．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．

【分析】等比数列的公比为q，由已知可得，a₁q﹣a₁=2，4，解方程可求q，a₁，然后代入等比数列的求和公式可求

【解答】解：设等比数列的公比为q，

由已知可得，a₁q﹣a₁=2，4

联立可得，a₁（q﹣1）=2，q²﹣4q+3=0

∴或q=1（舍去）

∴=

【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及等差中项等基础知识，考查运算求解的能力

17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos（A﹣B）cosB﹣sin（A﹣B）sin（A+C）=﹣．

（Ⅰ）求sinA的值；

（Ⅱ）若a=4，b=5，求向量在方向上的投影．

【考点】9N：平面向量数量积的含义与物理意义；GP：两角和与差的三角函数；HP：正弦定理．菁优网版权所有

【专题】58：解三角形．

【分析】（Ⅰ）由已知条件利用三角形的内角和以及两角差的余弦函数，求出A的余弦值，然后求sinA的值；

（Ⅱ）利用，b=5，结合正弦定理，求出B的正弦函数，求出B的值，利用余弦定理求出c的大小，然后求解向量在方向上的投影．

【解答】解：（Ⅰ）由，

可得，

即，

即，

因为0＜A＜π，

所以．

（Ⅱ）由正弦定理，，所以=，

由题意可知a＞b，即A＞B，所以B=，

由余弦定理可知．

解得c=1，c=﹣7（舍去）．

向量在方向上的投影：=ccosB=．

【点评】本题考查两角和的余弦函数，正弦定理以及余弦定理同角三角函数的基本关系式等基本知识，考查计算能力转化思想．

18．（12分）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生．

（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率P_i（i=1，2，3）；

（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i（i=1，2，3）的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．

甲的频数统计表（部分）                  

乙的频数统计表（部分）

当n=2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大．

【考点】CB：古典概型及其概率计算公式；EF：程序框图．菁优网版权所有

【专题】27：图表型；5K：算法和程序框图．

【分析】（I）由题意可知，当x从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出y的值为1，当x从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出y的值为2，当x从6，12，18，24这4个数中产生时，输出y的值为3，从而得出输出y的值为1的概率为；输出y的值为2的概率为；输出y的值为3的概率为；

（II）当n=2100时，列出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率的表格，再比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性大．

【解答】解：（I）当x从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出y的值为1，故P₁=；

当x从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出y的值为2，故P₂=；

当x从6，12，18，24这4个数中产生时，输出y的值为3，故P₃=；

∴输出y的值为1的概率为；输出y的值为2的概率为；输出y的值为3的概率为；

（II）当n=2100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率如下：

比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性大．

【点评】本题综合考查程序框图、古典概型及其概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．

19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AB=AC=2AA₁=2，∠BAC=120°，D，D₁分别是线段BC，B₁C₁的中点，P是线段AD上异于端点的点．

（Ⅰ）在平面ABC内，试作出过点P与平面A₁BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD₁A₁；

（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A₁﹣QC₁D的体积．（锥体体积公式：，其中S为底面面积，h为高）

【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直．菁优网版权所有

【专题】5F：空间位置关系与距离．

【分析】（Ⅰ）在平面ABC内，过点P作直线l和BC平行，根据直线和平面平行的判定定理可得直线l与平面A₁BC平行．

等腰三角形ABC中，根据等腰三角形中线的性质可得AD⊥BC，故l⊥AD．再由AA₁⊥底面ABC，可得 AA₁⊥l．再利用直线和平面垂直的判定定理可得直线l⊥平面ADD₁A₁ ．

（Ⅱ）过点D作DE⊥AC，证明DE⊥平面AA₁C₁C．直角三角形ACD中，求出AD的值，可得 DE 的值，从而求得 =的值，再根据三棱锥A₁﹣QC₁D的体积 ==••DE，运算求得结果．

【解答】解：（Ⅰ）在平面ABC内，过点P作直线l和BC平行，由于直线l不在平面A₁BC内，而BC在平面A₁BC内，

故直线l与平面A₁BC平行．

三角形ABC中，∵AB=AC=2AA₁=2，∠BAC=120°，D，D₁分别是线段BC，B₁C₁的中点，∴AD⊥BC，∴l⊥AD．

再由AA₁⊥底面ABC，可得 AA₁⊥l．

而AA₁∩AD=A，

∴直线l⊥平面ADD₁A₁ ．

（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l交AC于点Q，过点D作DE⊥AC，

∵侧棱AA₁⊥底面ABC，故三棱柱ABC﹣A₁B₁C为直三棱柱，

故DE⊥平面AA₁C₁C．

直角三角形ACD中，∵AC=2，∠CAD=60°，∴AD=AC•cos60°=1，∴DE=AD•sin60°=．

∵===1，

∴三棱锥A₁﹣QC₁D的体积 ==••DE=×1×=．

【点评】本题主要考查直线和平面平行、垂直的判定定理的应用，用等体积法求三棱锥的体积，属于中档题．

20．（13分）已知圆C的方程为x²+（y﹣4）²=4，点O是坐标原点．直线l：y=kx与圆C交于M，N两点．

（Ⅰ）求k的取值范围；

（Ⅱ）设Q（m，n）是线段MN上的点，且．请将n表示为m的函数．

【考点】57：函数与方程的综合运用；J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有

【专题】5B：直线与圆．

【分析】（Ⅰ）将直线l方程与圆C方程联立消去y得到关于x的一元二次方程，根据两函数图象有两个交点，得到根的判别式的值大于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的取值范围；

（Ⅱ）由M、N在直线l上，设点M、N坐标分别为（x₁，kx₁），（x₂，kx₂），利用两点间的距离公式表示出|OM|²与|ON|²，以及|OQ|²，代入已知等式中变形，再利用根与系数的关系求出x₁+x₂与x₁x₂，用k表示出m，由Q在直线y=kx上，将Q坐标代入直线y=kx中表示出k，代入得出的关系式中，用m表示出n即可得出n关于m的函数解析式，并求出m的范围即可．

【解答】解：（Ⅰ）将y=kx代入x²+（y﹣4）²=4中，得：（1+k²）x²﹣8kx+12=0（*），

根据题意得：△=（﹣8k）²﹣4（1+k²）×12＞0，即k²＞3，

则k的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）；

（Ⅱ）由M、N、Q在直线l上，可设M、N坐标分别为（x₁，kx₁），（x₂，kx₂），

∴|OM|²=（1+k²）x₁²，|ON|²=（1+k²）x₂²，|OQ|²=m²+n²=（1+k²）m²，

代入=+得：=+，

即=+=，

由（*）得到x₁+x₂=，x₁x₂=，

代入得：=，即m²=，

∵点Q在直线y=kx上，∴n=km，即k=，代入m²=，化简得5n²﹣3m²=36，

由m²=及k²＞3，得到0＜m²＜3，即m∈（﹣，0）∪（0，），

根据题意得点Q在圆内，即n＞0，

∴n==，

则n与m的函数关系式为n=（m∈（﹣，0）∪（0，））．

【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：根的判别式，根与系数的关系，两点间的距离公式，以及函数与方程的综合运用，本题计算量较大，是一道综合性较强的中档题．

21．（14分）已知函数，其中a是实数．设A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））为该函数图象上的两点，且x₁＜x₂．

（Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x₂＜0，证明：x₂﹣x₁≥1；

（Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．

【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有

【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用．

【分析】（I）根据分段函数中两段解析式，结合二次函数及对数函数的性质，即可得出函数f（x）的单调区间；

（II）由导数的几何意义知，点A处的切线的斜率为f′（x₁），点B处的切线的斜率为f′（x₂），再利用f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直时，斜率之积等于﹣1，得出（2x₁+2）（2x₂+2）=﹣1，最后利用基本不等式即可证得x₂﹣x₁≥1；

（III）先根据导数的几何意义写出函数f（x）在点A、B处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件列出关系式，从而得出a=lnx₂+（）²﹣1，最后利用导数研究它的单调性和最值，即可得出a的取值范围．

【解答】解：（I）函数f（x）的单调减区间（﹣∞，﹣1），函数f（x）的单调增区间[﹣1，0），（0，+∞）；

（II）由导数的几何意义知，点A处的切线的斜率为f′（x₁），点B处的切线的斜率为f′（x₂），

函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直时，有f′（x₁）f′（x₂）=﹣1，

当x＜0时，（2x₁+2）（2x₂+2）=﹣1，∵x₁＜x₂＜0，∴2x₁+2＜0，2x₂+2＞0，

∴x₂﹣x₁=[﹣（2x₁+2）+（2x₂+2）]≥=1，

∴若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，有x₂﹣x₁≥1；

（III）当x₁＜x₂＜0，或0＜x₁＜x₂时，f′（x₁）≠f′（x₂），故x₁＜0＜x₂，

当x₁＜0时，函数f（x）在点A（x₁，f（x₁））处的切线方程为y﹣（x+2x₁+a）=（2x₁+2）（x﹣x₁）；

当x₂＞0时，函数f（x）在点B（x₂，f（x₂））处的切线方程为y﹣lnx₂=（x﹣x₂）；

两直线重合的充要条件是，

由①及x₁＜0＜x₂得0＜＜2，由①②得a=lnx₂+（）²﹣1=﹣ln+（）²﹣1，

令t=，则0＜t＜2，且a=t²﹣t﹣lnt，设h（t）=t²﹣t﹣lnt，（0＜t＜2）

则h′（t）=t﹣1﹣=，∴h（t）在（0，2）为减函数，

则h（t）＞h（2）=﹣ln2﹣1，∴a＞﹣ln2﹣1，

∴若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，a的取值范围（﹣ln2﹣1，+∞）．

【点评】本题以函数为载体，考查分段函数的解析式，考查函数的单调性，考查直线的位置关系的处理，注意利用导数求函数的最值．